曹广福
摘 要：本文以国内外两本经典教材为例，论述了非数学专业数学教材以及讲堂教育应该留意的一些问题，指出非数学专业的微积分教育相同需求表现其思维性，讨论了如安在数学的理论性与实用性之间找到平衡。文章认为，将数学建模思维与数学文明融入数学讲堂教育中是必要的。
要害词：微积分；讲堂教育；数学思维
一、导言
微积分是大学里许多专业的必修课。国内运用最多的微积分教材是同济大学主编的《高等数学》[1]，该教材经过若干次修订，在内容的深度与广度方面都有所加强。该教材与西方教材存在着明显的不同。以Steward的《微积分》[2]
为例，这套教材之所以获得巨大成功，致使占据了北美大学微积分教材70%以上的商场，与该教材通俗易懂且具有浓郁的运用颜色不无联系。但是，作为一本获得巨大成功的教材，为什么国内很少选用它作为大学本科非数学专业的微积分教材？它有什么值得咱们学习的当地？我国微积分教材以及微积分教育有什么可改善之处？这正是本文要讨论的问题。
二、教什么样的数学
许多教师认为，关于非数学专业的学生而言，会核算导数与积分、能简略地运用它们处理问题就够了，这种观念深入地反映在微积分讲堂教育中。非数学专业的大学生该学什么样的数学？教师该教什么样的数学？或许精确点说，学生该怎样学数学？教师该怎样教数学？这触及咱们需求培育什么样的大学生的问题。
数学是悉数科学的根底，这个根底不只反映在学生将来能将讲堂上学到的数学常识依样画葫芦地运用到作业中，更重要的是能灵活运用数学思维与办法处理问题。关于立异式人才而言，最重要的才能不是把握现已被人熟知的数学运用办法，而是发现不知道的运用数学处理问题的办法。從这个含义上说，把握数学的思维办法比把握数学的实践运用更重要，前者归于更高境地的数学。从这个含义上来看，Steward的《微积分》并不是无可挑剔，该书关于数学在各个领域运用的介绍可谓淋漓尽致，但或许出于深入浅出的原因，关于微积分内在的思维与办法论的阐释则稍嫌短缺。该教材的内容关于大多数非数学专业大学生或许够了，但关于恰当一部分期望将来在科学研讨上有所造就的学生来阐明显有些浅薄。该教材的另一个缺点是内容过于杂乱，很难在现有的课时内完结悉数内容的教育。上述两个原因或许正是我国大学很少选用该教材的原因，但瑕不掩瑜，它的确是一本可贵的优异的微积分教材。
咱们需求教什么样的数学？这个问题并不难答复，简而言之：教有用的数学！问题在于什么是有用的数学？常识自身无所谓有用与无用。学习者会用，常识关于他就是有用的；学习者不会用，常识关于他就是无用的。
有人认为，能处理实践问题的数学就是有用的数学。能处理实践问题的数学固然是有用的，但这远远不是有用数学的悉数，乃至不是数学最重要的部分。数学是一门思维科学，它不只与天然科学、社会科学密切相关，一起还归于哲学范畴。换句话说，她教给咱们的是一种思考问题、处理问题的办法。
大天然的奥秘面纱远远没有为人类所彻底揭开。数学办法无疑是了解大天然必不行少的重要手法。没有数学，人类将无法真实了解大天然。面临奥秘莫测的大天然，不只现有的数学东西远远不够，即便是已有的数学东西，咱们也还远远没有弄清楚究竟哪些有用，哪些没有用。特别是最近一个世纪以来，数学、天然科学开展是如此敏捷，现已使科学家们没有才能一起统筹数学与天然科学，也就是说，数学现已逐渐远离了天然科学而独立开展了。正由于如此，人们并不清楚现代数学与天然科学之间究竟有什么联系，换句话说，现在的数学关于天然科学究竟有没有用。
前史上，数学与天然科学异曲同工的比方并不稀有，泛函剖析的开展与量子力学的开展就是典型的例子。
呈现这种风趣的现象并不古怪，由于数学与天然科学在办法论上是相通的。由此可见，数学的“有用”表现在两个方面：一是科学的思维办法；二是天然科学在实践日子中的运用。从某种含义上说，前者更重要，由于科学的思维办法是了解不知道的钥匙。
教材内容添加什么、削减什么并不是最重要的，重要的是教师在讲堂上做什么。惋惜的是，尽管咱们有督导进程、有学生点评环节，但实践的教育进程是否表现了数学的思维性好像无人重视，也难以量化。许多时分，咱们的教育变革与教育进程犹如两列互不搅扰的并行火车。
当咱们走进现在的数学讲堂，再回忆20年前的数学讲堂，不只发实践质性改变不大，乃至有种今不如昔的慨叹。大部分讲堂教育依然过于重视数学技巧与细节，对数学常识中蕴藏着的数学思维往往视若无睹或疏忽不计。这些技巧与细节关于进步学生的解题才能的确发挥了重要效果，问题是，这些技巧有用吗？它关于学生日后的作业与日子很重要吗？假如这些东西对他们日后的作业与日子无关宏旨，他们为什么要学习这些东西呢？
因而，怎样进步学生学习数学的爱好，学一点真实能够学致运用的东西，才是有含义和有价值的。
微积分作为数学史上最巨大的发明创造，距今已有900年的前史。与现代许多数学不同的是，微积分的发生与天然科学直接相关。众所周知，微积分源于四类根本问题：面积问题、速度与旅程问题、光学与切线问题、最大最小值问题。教师在讲堂上尽管也会提及这些问题，但重视的要点却不是处理这些问题的思维办法，而是数学概念与原理自身，或许说过于重视解题的技巧，教了许多无用的技巧，学生“才高八斗”，却没有将满腹的常识转化成内在的才能，面临作业中呈现的各种实践问题束手无策，更不用说立异了。
可见，教育的要害在于教师怎样了解教材，怎样恰当地运用教材。教育不该仅仅教授常识，更应重视培育学生思维才能和灵活运用常识的才能。而数学思维才能及运用才能的培育则依赖于对数学的爱好，这种爱好来自哪里？既来自对数学的了解，更来自数学的审美才能。
数学的美归纳起来大致有这样几个方面：
（1）简略性；（2）对称性；（3）奇异性；（4）统
一性；（5）笼统性；（6）哲理性；（7）趣味性。
数学之美好像数学思维相同被隐含在书本中，学生从教材里是很难看到的，教师的使命就是要发掘掩藏在书本常识背面的思维与美丽并展现给学生。一个精彩的讲堂，其结构、办法以及教师的机敏都能够散发出数学美的光辉。当学生脱离校园，不再学习数学，数学教育留给他的应该是：学会用数学的眼光去调查问题，用数学的脑筋去思考问题，会鉴赏数学之美，具有数学的思维办法以及自主自发地在作业乃至日子中运用。只需这样，学生才算是真实学到了有用的数学。
回到微积分教育。微积分是大学非数学专业最重要的数学课程，教育课时多，触及面广。现在理工科微积分教育疏忽了两个问题：一是疏忽了与中学阶段所学常识的联接，二是疏忽了常识的实践布景。仍是让咱们从函数谈起。
现在高中阶段学生就开端学函数概念、微积分根底常识，但学得有点不三不四。假如是在曩昔绝大多数中学生没有时机上大学的情况下，让中学生们了解一点微积分思维是能够了解的，可现在的中学生恰当一部分都要进入大学，换句话说，还得重学微积分。以现在中学教材及教师的实践情况而论，中学生真的能了解并把握微积分所包含的深入思维吗？
大学的微积分教育留意到这个问题没有？翻开微积分教材，你会看到和几十年前比较根本没什么改变。函数是微积分的根本研讨方针，要讲微积分天然少不了函数。问题是该怎样处理它们？我觉得函数需求介绍，但不宜像以往那样将过多的精力放在各种函数性质的具体论述上，由于中学阶段对各种初等函数现已有过比较具体的介绍。有些人认为函数部分能够一带而过，我不这么看。其一，学生在中学阶段学的函数相同不成系统，许多重要概念并没有介绍。其二，学生除了知道笼统的函数概念，大约谁也说不清函数究竟能够用来干什么，大学教师无异于在帮中学教师炒夹生饭。笔者认为，函数理论的介绍不能是中学内容的重复，而应该是其弥补与深化。
学生对初等函数早已了解，教师假使再羁绊于细节性问题，学生肯定会觉得庸俗，但初等函数是微积分研讨的最重要方针，一切的核算都是针对初等函数进行的，疏忽曩昔明显是不当的。问题在于怎样讲？树立模型的意图有两个：一是使用模型解说实践国际中的某种现象，二是使用模型对被研讨的方针作猜测。由此可见树立数学模型的重要性。那么，怎样根据实践问题树立数学模型呢？一般有以下几步：
（1）根据实践问题挑选恰当的自变量和因变量。这是十分要害的一步，既要考虑到模型能反映客观实践，又要考虑到数学处理的便利。换句话说，咱们需求作一些折中。因变量的确定是比较简略的，往往根据咱们要处理的问题即可断定。但自变量的确定就不那么简略了，应将影响某种现象的最实质的要素断定为自变量。也就是说，这样的量足以左右某种现象的改变。
（2）树立恰当的函数联系。树立函数联系有两种办法：一是根据某种现象的规则来树立，如天体的运动遵从牛顿定律，经济商场的各种现象一般遵从经济规则等。二是收集数据再作数据处理，从中发现规则。经过将数据描点，就能够得到函数的图画表明，比方一些统计图表就是这样得到的。
（3）使用数学常识或东西对模型作剖析，给出该数学问题的回答。微积分就是要通知咱们怎样剖析这些数学模型。
（4）根据对数学问题的回答，作出实践问题的客观解说。假如一个模型不只能解说某种客观现象，还能对这种客观现象的未来作出比较精确的猜测，这就是一个十分成功的模型了。
在介绍数学模型后，能够偏重介绍各种初等函数一般在什么样的实践问题中呈现。假如从这样的视点来叙述函数，不只能够协助学生温习了中学阶段学习过的函数概念，更重要的是学生能够知道函数不只仅是笼统的符号与演算。
三、微积分教材及教育能够做哪些改善
中美教材比较各有千秋。我国的微积分教材理论性偏强，美国的教材实用性偏强。数学教育向来有两种不同的观念：一种观念是发起數学化，数学讲堂应该着重数学自身的理论，能够不用过多考虑运用性。持这种观念者的理论根据是：数学作为一门思维科学，它的教育功用是培育学生的思维才能，具有恰当广泛的普适性。另一种观念认为，数学教育应该重视数学的实用性，特别关于非数学专业的学生更应如此。这种观念的根据是：非数学专业学生学习数学的意图是为了用数学，他们只需知道怎样运用数学就够了。这两种观念都有失偏颇。就微积分而言，它发生于天然科学，但是处理问题的办法又是纯数学化的，单纯地着重数学理论或数学运用都是片面的，应该在尊重前史的根底上两者统筹。此外，数学的理论性与思维性是不同的概念，理论化程度高不表明思维性高。所以，微积分教材能够从以下几个方面进行改善：
（1）强化思维性。微积分的思维不只关于处理实践问题具有无足轻重的含义（如在应力剖析中，往往部分地用切平面替代方针曲面），它对现代数学的影响也是深远的。例如，部分“以直代曲”的思维不只关于微分几许、拓扑发生了严重影响（如切丛的概念、向量丛的概念都与此有关），也影响了代数（如李群的李代数、导子等）。教材与教师的讲堂教育应该充沛展现微积分的这一精华。
微分与积分的辩证思维表现在数学的许多分支中，或许是这种思维理论性较强的原因，微积分教材一般避而不谈。函数的连续性也包含着深入的数学思维，特别是闭区间上连续函数的性质，一般的高等数学教材只介绍定论，不讲证明。笔者不建议具体解说这些定理的证明，但闭区间所反映出的重要思维应该对学生有所告知，何况这一思维并不难了解。
（2）恰当强化运用性。在这个方面，Steward的《微积分》是一个很好的范本。这或许是它获得成功的一个主要要素，它从一个方面阐明运用性是多么受欢迎。着重运用性，并不意味着弱化教材的思维性，而是微积分思维在天然科学与社会实践问题中的延伸。假如能学习Steward编写办法，恰当将微积分在天然科学中的各种运用贯穿于教材的一直，不只能够添加教材的趣味性与可读性，也能够为读者运用微积分供给一些典范与操练的时机。
（3）强化现代化技能的运用。微积分触及许多核算，恰当介绍一些数学软件与数学机械化办法不无好处。例如，在运用连续函数介值定理求方程根时，彻底能够引进机械化办法，由于求方程根进程自身就是一个程式化进程。又如，牛顿切线法也是一个程式化进程，经过这两种求根办法的机械化进程，还能够直观比较二分法与牛顿切线法运用于具有凹凸性的单调函数时的好坏。
在微积分教育中，最困难的核算非积分莫属，但是凭借数学软件核算积分现已不是难事。所以，微积分教材彻底没有必要在积分核算环节花费太多的篇幅，教师的讲堂教育好像也没有必要过火着重积分技巧的练习，恰当介绍根本的积分办法就能够了。
四、学生是否需求把握严厉的极限言语
许多微积分教材都不介绍极限的δ-ε言语，这或许缘于该言语有些笼统，比较难以把握。许多数学专业的学生在学完δ-ε言语后也是一知半解，直至多年后才了解其真实的内在。国内外要求较高的微积分教材（好像济大学编写的《高等数学》）有所介绍，但仅限于开始
了解。
那么，作为非数学专业的大学生有没有必要了解乃至把握极限的δ-ε言语？要说清楚这个问题，首要需求弄清楚极限的δ-ε言语在微积分中发挥的效果。的确，直观的极限概念并不难了解，学生不学习极限的δ-ε言语关于核算导数、积分并不会带来太大的影响，也不阻碍对微积分概念的了解。但是，直观的极限描绘并非严厉的数学言语，它无法参加数学证明， δ-ε言语是微积分的根本言语，说一个不明白δ-ε言语的人懂微积分是不行幻想的。当年牛顿之所以遭到贝克莱大主教的质疑并引发前史上闻名的第2次数学危机，正是由于微积分短少一个严厉的科學言语，人们以办法逻辑来了解微积分然后导致危机的发生，直到柯西将极限概念严厉化，也就是用今日所说的δ-ε言语界说极限，才使得争辩云消雾散。由此可见δ-ε言语关于微积分的重要性。
δ-ε言语的确有必定的笼统性，但不能由于笼统就避而不谈。事实上，只需办法妥当，学生并非不能把握δ-ε言语。这种言语的根本思维即便在日常日子中也是常见的，它实践的模型就是在必定精度规模内的差错估量。例如要制作一个给定体积的球形产品，使得体积差错不能超越必定的规模，工人怎样判别差错有没有超越给定的精度？明显是经过卡尺丈量球的直径，只需直径的差错在恰当规模内，就能确保体积的差错在给定的差错规模内。假如从实践问题动身逐渐引进δ-ε言语，而不是简略地给出一连串的数值查验，学生是不难了解这种特别的言语的。即便是一个根底一般的一般学生，也不难了解日子中的这类差错估量，问题在于当教师从实践问题动身归纳笼统出严厉的δ-ε言语时，学生往往很难跨越从实践到数学的笼统妨碍。但只需从实践的问题情形动身，让学生逐渐感知、归纳，最终是不难笼统出δ-ε言语的。不过作为非数学专业的大学生，的确没有必要作过多的极限证明，把握δ-ε言语的实质就满足。
大学数学教育变革绝不只仅是内容系统、难易程度的变革，而是要经过这种变革进步学生的数学视野与素质。从这个含义上来说，将数学建模思维、数学文明融入数学讲堂教育中是必要的。
参考文献：
[1] 同济大学数学系.高等数学[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014.
[2] James Steward.微积分[M].北京：高等教育出版社，2004.
[责任编辑：夏鲁惠]
