摘 要：本文从科学研讨的视点讨论怎样培育学生的数学思维，发起将讲堂教育进程当成科学研讨的进程进行，指出应该从微观与微观两个层面把握讲堂，只需了解数学史、具有必定科研阅历的堆集才干成为一个合格教师。
要害词：讲堂教育；科研；数学本质；微观与微观
一、导言
或许许多人觉得数学教育不是个什么了不得的事，教师将概念、定理讲清楚就能够了，至于效果怎样，全看学生的领悟。几十年来，咱们进行了各个层面上的变革，从课程系统到教材，获得的变革效果是巨大的。但这种变革关于教师的实践讲堂教育发生了什么影响，发生了多大影响，只需走进讲堂就不丑陋出来。脚踏实地地说，变革与实践的教育之间仍存在着脱节与不相和谐。
与讲堂教育比较，课程系统变革、教材变革相对简略许多，由于她触及的仅仅课程系统研讨者、教材编写者等少数人，可是，讲堂教育则触及每个教师。教师常识结构的差异、教育情绪的差异、表达才干的差异、数学本质与视野的差异等都决议了不同的教师注定有着不同的教育风格与教育效果。其间是否存在某些共性的东西关于每一个教师都具有参阅价值？咱们以为是存在的。
二、把教育进程当成科研进程
传统的教育重视的是常识教授与技巧的训练，疏忽了一个更重要的东西——思维，短少思维的教育不是教育，而是常识与技术训练。许多人以为，学生把握了某门课程的常识，会运用这些常识处理一些问题就足够了。在我看来，这仅仅低层面上的要求。书本、常识、讲堂三者之间是什么联系？咱们都知道书本是常识的载体，那么常识与讲堂是什么联系？关于这个问题恐怕就见仁见智了。或许许多人以为，讲堂是教授常识的场所。我以为只说对了一半，由于常识不是完结方针，它也是一种载体，承载着几十年乃至千百年来前人的才智，这就是思维，换句话说，常识是思维的载体。教师的使命又是什么？一言以蔽之，教师的使命是透过书本发掘隐藏在常识背面的思维并展示给学生，这才是真实的教育。
曩昔咱们往往更重视上课的细节，从板书、语言表达、仪态到内容的安排，都考究有板有眼，恰恰疏忽或淡化了思维性。学生从中学到了许多常识，但这些常识都是死板的，短少鲜活的魂灵，学生不只失去了学习的热情，也不知道所学何用，在学生看来，学习的仅有意图是结业、找作业，至于这些常识与他们日后的日子与作业有什么联系则一窍不通。曾经有学生问我：“学习实变函数有什么用？”我答曰：“或许对你毫无用处，也或许让你终身获益，要害看你学什么，怎样学。”
怎样面临教育？怎样处理教育内容？这是每个教师应该仔细考虑乃至终身考虑的问题。尽管咱们把教研相长放在嘴上，但在实践作业中则习惯于把教育与科研当成相关不大的两件事，有些人乃至把科研当成了主业，教育不过是糊口的副业。在一个以项目、论文论英豪的年代，教师的挑选却是能够了解。可是，假如一个校园或许教师仅仅把“教育为本”当成标语，注定将误人子弟。惋惜的是，有一种现象不是单个的：一些年青人在科研与教育二者之间，将“工作”的天平倾向了科研。站在年青人的视点，他们的挑选一点也不古怪，科研毕竟是吃芳华饭的营生，“少壮不努力，老大徒伤悲”，但身为教师，教育永久是主业，至少应该教育科研二者偏重。
有一次一位年青教师听我的课，内容是实变函数中极限与测度的交流次序问题，详细地说：“可测集列的极限与这些调集的测度序列之极限是否持平？”他问我：“你在介绍这个定理的时分没有直接陈说定论，而是经过对问题的剖析终究找到测度与极限能够交流次序的条件，怎样想到这么讲的？”我笑曰：“只需把讲课的进程当成科学研讨的进程就能够想到这么讲。”
数学讲堂的魂灵是什么？是思维，换句话说，数学教育进程应该是教授思维的进程。思维是经过什么来展示的？是问题，也就是说，数学讲堂应该围绕着问题打开。数学开展原本就是个发现问题、剖析问题、处理问题的进程，教师的使命则是凭仗研讨阅历，经过合情推理回归这个进程。
有点研讨阅历的人都知道，做研讨首要需求挑选恰当的课题，你首要要清楚为什么挑选某个课题？你想处理什么问题？假如你连这些问题都搞不清楚，你的选题必定是盲意图，远景怎样就可想而知了。当你挑选了一个课题，你需求依据你确定的问题选用你所能想到的办法与手法去剖析、演绎，终究得到你想要的成果。成果或许与你开始的幻想有收支，但科学在于探求，假如成果是已知的，也就不成为探求了。科研中有两个才干是必需的：一是直觉，二是逻辑演绎与核算才干。直觉依赖于咱们的科学本质与敏锐的“嗅觉”，Weyl在点评Hilbert时曾说过这样的话：“他就像一条嗅觉活络的狗，能够敏锐地发现哪里有骨头并舍生忘死地猛扑上去。”很难幻想，一个人假如没有了直觉，能够从纷繁复杂的现象中发现有规律性的东西。逻辑演绎与核算才干是一个人的底子功，没有很强的推演与核算才干，即便有好的幻想也变不成成果，永久只能停留在猜想上。直觉能够协助咱们“斗胆猜想”，演绎与核算才干能够协助咱们“当心求证”。假如咱们的教育不能培育学生这两种才干，很难说咱们的教育是成功的。从这个意义上说，教师本身不具有直觉与演绎才干，又怎样培育学生的直觉与演绎才干？教师只需具有了科学研讨的阅历与阅历，才干真实做到将教育进程当成科研进程。
三、微观与微观的结合构成完好的讲堂教育
讲堂教育离不开微观与微观两个部分，所谓微观便是关于一门课程的全体把握，这就比如你挑选某个课题，需求先清楚为什么挑选这个课题，为了处理什么样的问题。任何一个学科都不是海市蜃楼，都有其发生与开展的布景，微积分的发生源于速度、旅程、面积、光学等问题，实变函数的发生源于积分与极限交流次序及积分齐备性问题等。教师在开课时应该首要从微观上把握该课程，向学生讲清楚想处理什么问题，许多概念的呈现也就不古怪了。对学科的微观把握并不是件困难的事，事实上，任何数学史书都会对某个学科的发生与开展做一个详细的描绘，教师只需关怀一下前史，读一读有关的史书就不难做到。读史书不只需助于教育，对个人本质与视野的进步也将助益良多。
所谓微观是指对某门课程中详细概念、定理的把握。张奠宙、张荫南先生针对微积分教育首要提出了问题驱动讲堂教育的观念[1][2]，之后连续有一些研讨[3-6]。其实，任何数学课程都应该围绕着问题进行，换言之，由问题驱动讲堂教育。由于纵观数学开展史，任何数学理论的发生都是为了处理某些问题，恰恰是在对问题的剖析与处理中闪现出数学思维的光辉。很难幻想，离开了问题能够谈数学思维。有人把数学称为东西学科，这是对数学狭义的了解，数学更是一门思维科学，是训练人的思维才干的学科，假如咱们将数学退化为东西，数学也就失去了她无量的魅力。前史上，数学理论在构成多年后才发挥巨大威力的比如不乏其人，在某个数学理论在自然科学范畴得到使用前，谁能知道他能发挥如此大的效果？只需把握了数学思维，学会用数学的眼光调查问题，用数学的脑筋考虑问题，才有或许在未知范畴发挥数学的潜能。Halmos说过这样的话：“具有必定的数学涵养比具有必定量的数学常识要重要得多。”[7]我深以为然。
数学讲堂离不开概念、定理、例题三个底子组成部分，怎样解说概念，怎样教育定理，这是值得深化探求的问题。有些人以为，把概念的内在与外延讲清楚就能够了，我觉得远远不够。任何重要概念的发生都有重要的布景，为什么会呈现某个概念？为了处理什么问题？假如不弄清楚这些问题，概念也就成了无源之水，无本之木。有人以为，概念发生的布景或许比较复杂，前史也比较久，很难在有限的时刻内解说清楚，所以有些教师为了论述一个概念，臆造了一些捕风捉影的问题，用来解说概念。我不这么看，尽管一个概念从发生到得到公认需求阅历适当长的时刻，但它为什么发生，终究为什么能得到咱们认同仍是能够解说清楚的。概念课教育应该尊重前史，而不是篡改前史。哲学上有个词叫“来源性问题”，即促进事物发生的开始本源，概念课教育恰恰应该由来源性问题来驱动，也就是促进概念发生的那些问题，而不是一些人所了解的由教师精心设计或学生提出来的问题，那不是真实的来源性问题。
定理的教育与概念课有所不同，除了一些闻名的定理能够从史书上读到其来龙去脉，大部分定理常常是数学本身逻辑演绎的产品，尽管这些定理的发生也源于某些问题，但这些问题既有或许是来源性的，也有或许不同于来源性问题，咱们把它称为派生性问题，它一般是围绕着某些来源性问题派生出来的。例如，在实变函数中，一个函数序列的极限与这个函数序列积分的极限是否能够交流次序，这是个来源性问题，在许多实践问题中都会触及。为了处理这个问题所开展起来的测度论中许多定理则都是派生出来的，为了界说Lebesgue积分，需求先树立测度概念，信任许多教师都清楚怎样从积分界说的剖析中发现树立测度概念的必要性。关于可测调集序列来说，调集序列极限的测度与这个调集的测度序列的极限能不能交流次序？这就是个派生性问题。教师在介绍这些定理时不应该像有些传统教育那样先陈说定理然后寻觅证明，而应该像做科研相同讨论这些问题，终究发现使得定论建立的条件是什么，这就是所谓的教育进程科研化。
有些人以为，关于非数学类专业的学生而言，数学仅仅个东西，把握一点数学常识与办法就够了。许多年来这种观念左右了许多教师的教育进程。以微积分教育为例，教师往往将注意力会集在怎样核算导数与积分，好像学生把握了导数核算、积分核算，就算是学好了微积分了。一些微积分教材也表达了这种观念。我不认同这种观念，前史上自然科学、社会科学各个范畴获得杰出成就的成功人士（未必是真实意义上的科学家），大到诺贝尔奖获得者，小到各行各业作业岗位上的专业人士，其杰出的数学涵养发挥了十分重要的效果。对许多范畴而言，没有杰出的数学涵养，难以有大作为[8]。
中学数学教育情况怎样？信任绝大多数国人都十分清楚，升学考试的压力现已让教师无暇顾及思维，高分名列前茅。可是，高分带来了什么？学生真实懂数学吗？他们除了把握了一点数学常识，会解题，对数学还知道多少，这是值得每个数学教师仔细考虑的问题。
大学的教育理念是否合适中学数学教育？中学数学讲堂教育该围绕着什么进行？这或许是大学数学教育研讨与中学一线教育相结合的一个比较好的符合点。有些教师以为，中学讲堂不能像大学讲堂那样进行。确实，无论是学生的认知才干，仍是一节课的容量，中学与大学都不可同日而语。但同为数学课，都离不开数学之魂——思维，从这个意义上说，大学与中学的数学教育是相通的。
中学数学讲堂一般分概念课、原理课与解题课三个模块，有些人也把它分红五个模块，加上了测评课与实践课，在我看来，最重要的是前三者。有些人以为，一些陈说性概念对中学生是很难讲清楚来龙去脉的，不如简略供认，今后渐渐了解，事实上，许多教师讲堂上也是这么教的。问题是教师怎样答复“为什么呈现这个概念”的问题，假如答复不了这个问题，这个概念算讲清楚了吗？尽管中学数学也一向发起探求式教育，但惋惜的是，理论上都理解，但在实践教育进程中却习惯了概念——定理——证明的固定程式，好像很难跨越。在现在的教育现状下，怎样统筹数学思维与数学应试是值得研讨的问题[9-10]。
四、教师本质是决议讲堂教育胜败的底子
教育的胜败在教师，咱们一向着重教师要有一颗爱心，要有仔细负责的精力，要爱岗敬业，要熟练把握本门课程的内容，还要懂得教育学、心理学与教育法，仅仅具有这些条件尚不足以成为一个合格教师，数学教师应该具有必定的底子本质[12]。咱们以为，一个合格的数学教师至少还应该具有如下两个底子条件：
一是要了解数学史。假如教师对一门课程的前史一知半解乃至一窍不通，很难幻想他能讲清楚这门课程。M.克莱因的《古今数学思维》[10-11]是值得一切数学教师与每个数学专业的学生都仔细研读的数学史书，不知咱们有多少教师阅读过这样的书。假如你不了解前史，你又怎样向学生讲清楚一个概念是怎样发生的？
二是要有必定的科学研讨阅历。众所周知，书本受篇幅与逻辑系统及严谨性的限制，一般仅仅概念—定理—证明—例题等常识的简略陈说，很少交待常识的来龙去脉。那些定理是怎样发现的？它的价值安在？为了处理什么问题？怎样从定理中发现亮光的思维？怎样寻觅它的证明？教师假如没有必定研讨阅历的堆集，是无法经过合情推理完结讲堂教育的，只能依样画葫芦停留在照猫画虎的层面上。
综上所述，作为教育组成部分乃至是最重要部分的讲堂教育并不像有些人幻想的那么简略，只需读过博士乃至大学就能够担任的，它需求教师知道比教材多得多的东西，这就是本质与视野。
参阅文献：
[1][2] 张奠宙，张荫南，新概念： 用问题驱动的数学教育（续）[J].高等数学研讨，2004，3（7）.
[3]徐文斌，杨玉栋.“来源性问题”及其在数学讲堂教育中的使用[J]. 数学教育学报，2005（8）.
[4] 杨玉栋，徐文斌. 初议“来源性问题驱动讲堂教育”[J]. 中学教研，2006（5）：1-2.
[5] 杨玉栋，徐文斌. 来源性问题驱动讲堂教育：理念、实践与反思[J]. 教育开展研讨，2009（20）.
[6] 上海市控江中学课题组. 来源性问题驱动的数学教育实践研讨[J]. 数学教育，2009（6）.
[7] P.R.Halmos. A Hilbert space problem book，American Book Company，1967.
[8] 曹广福. 例论非数学专业学生相同需求数学思维[J]. 数学教育学报，2009，18（3）.
[9] 何勇，曹广福. 数学讲堂怎样统筹学生数学本质与应试才干 [J]. 数学教育学报，2014，23（2）.
[10] 张蜀青，曹广福. 问题驱动对数教育[J]. 中学数学教育参阅，2014（7）.
[11] 曹广福，关于数学教育的一些知道——谈谈数学教师本质[J]. 数学教育学报，13（1）.
[12] M. 克莱因. 古今数学思维 [M]. 上海：上海科学技术出版社，1985.
[责任编辑：周 杨]
