姜誉
摘 要：一阶谓词逻辑推理是数理逻辑教育的重要内容之一。在一阶谓词逻辑推理教育中，确保量词引进规矩、量词消去规矩的内容与方式的一致性对学生正确承受和了解推理进程具有重要作用。文章从离散数学教育实践动身，介绍一阶谓词逻辑推理中的存在量词引进规矩与量词消去规矩的教育策略。
关键词：离散数学;存在量词;规矩
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2015）12-0003-02
离散数学是核算机科学与技能、软件工程等本科专业的一门根底课程，而数理逻辑是离散数学课程中的一个重要组成部分，对进步学生了解和结构数学证明的才能以及培育学生的核算思想（computational thinking）具有重要作用[1-2]。
出题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑教育内容中的两个部分。一阶谓词逻辑经过引进量词来表达个别与整体之间的内在联系与数量联系[3]，然后克服了出题逻辑中无法表达数量联系的局限性。
量词包含全称量词和存在量词。全称量词表达个别域中的一切个别，通常用符号“ ”表明;存在量词表达个别域中的单个个别，通常用符号“ ”表明。一般用小写字母a、b、c等符号表明个别常元，用小写字母x、y、z等符号表明个别变元，用大写字母A、B、C、P、Q、R等符号表明谓词。在谓词公式 xP（x）或 xP（x）中，x是束缚变元，也称变元x是束缚呈现，这时的P（x）称为 x或
x的辖域;假如谓词公式Q（y）中不存在变元y的束缚呈现，则称变元y在Q（y）中自在呈现，或称y是自在变元。在谓词公式 x yP（x，y）或 x yP（x，y）中，变元x在 x或 x的辖域内是束缚呈现，但在 y或 y的辖域内是自在呈现。
一阶谓词逻辑推理体系除了具有与出题逻辑推理中一样推理规矩之外，还有4条与量词的引进和消去有关的规矩，别离是全称量词引进规矩（简记为 +或UG）、全称量词消去规矩（简记为 -、UI或US）、存在量词引进规矩（简记为 +或EG）、存在量词消去规矩（简记为 -、EI或ES）。量词引进也称为量词泛化，量词消去也称为量词实例化或指定。这4条与量词有关的引进和消去规矩极大地丰厚了一阶谓词逻辑推理的表达才能。
在量词引进规矩和量词消去规矩的教育中，确保量词引进规矩以及量词消去规矩的内容与方式的一致性对学生正确了解和承受推理规矩及推理进程具有重要作用，不然简单引起学生了解上的困惑。
一、现有的规矩
咱们以文献[3]中关于存在量词引进规矩（ +或EG）和存在量词消去规矩（ -、EI或ES）为例进行阐明。文献[3]是一般高等教育“十一五”国家级规划教材，具有代表性。在文献[3]中给出的全称量词引进规矩和全称量词消去规矩的内容与方式是一致的，不存在了解上的困惑。
文献[3]给出的存在量词引进规矩（ +或EU）方式为：
或 （1）
以及
或 （2）
其间，x、y是个别变元符号，c是个别常元符号。运用该规矩的条件要求是：在谓词公式A中，变元y不在 x和 x的辖域内自在呈现，常元c不在 x和 x的辖域内呈现。
在上述式（1）这对表述中，第一个表述建立的根据是公式A（c）→ xA（x）永真，因而有A（c） xA（x）;第二个表述建立的根据是假言三段论规矩：（B→A（c））∧（A（c）→ xA（x）） B→ xA（x）。式（2）的景象相似。 咱们看到，这个规矩称为“存在量词引进规矩”，其推理成果在方式上也表现了存在量词 ，规矩的内容与符号方式是一致的，学生易于了解和承受。
但是，文献[3]给出的存在量词消去规矩（ -或EI）的方式为：
或 （3）
以及
或 （4）
其间，y是个别变元符号，c是个别常元符号，运用该规矩的条件要求是：变元y不在推理的任何条件公式以及谓词公式B中自在呈现，常元c不在推理的任何条件公式以及谓词公式 xA（x）及B中呈现。
咱们看到，在这个称为“存在量词消去规矩”的推理成果方式中反而呈现了存在量词 ，使得规矩的内容与符号方式不一致，导致学生了解上的困惑。
实际上，在上述式（3）这对表述中，第一个表述能够当作一条存在量词引进规矩;该表述建立的根据是假言三段论规矩：
（ xA（x）→A（c））∧（A（c）→B） xA（x）→B。其间，常元c是满意谓词公式 xA（x）的个别。
而式（3）中的第二个表述在本质上不是消去存在量词，而是得出结论B，其建立的根据实质上是假言推理规矩，即：
（ xA（x）→A（c））∧（ xA（x）） A（c）
以及
A（c）∧（A（c）→B） B。
其间，常元c是满意谓词公式 xA（x）的个别。因而，在该规矩描绘中的第二个表述其实是不必要的，能够从该规矩中删去。
相似地，在式（4）这对表述中，第一个表述也能够当作一条存在量词引进规矩;考虑到变元y的恣意性，该表述建立的根据是假言推理规矩（ xA（x）→A（c））∧
（ xA（x）） A（c）、化简规矩A（y）→B A（c）→B以及假言三段论规矩（ xA（x）→A（c））∧（A（c）→B） xA（x）→B 。
其间，常元c是满意谓词公式 xA（x）的个别。
式（4）中的第二个表述在本质上也不是消去存在量词，而是得出结论B，其建立的根据实质上是假言推理规矩（ xA（x）→A（c））∧（ xA（x）） A（c）、化简规矩A（y）→B A（c）→B以及假言推理规矩A（c）∧（A（c）→B）
B。其间，常元c是满意谓词公式 xA（x）的个别。因而，该表述其实也是不必要的，能够从该规矩中删去。
二、修改后的规矩
为了确保规矩内容与方式的一致性，咱们能够将式（3）的第一个表述以及式（4）的第一个表述归入到存在量词引进规矩中，这种做法
其间，x、y是个别变元符号，c是个别常元符号。运用该规矩的条件要求是：运用式（5）或（7）时要求常元c、变元y别离不在公式A中 x和 x的辖域内呈现和自在呈现;运用式（6）或（8）时要求常元c、变元y别离不在公式A中 x和 x的辖域内、公式B以及推理的任何条件公式中呈现和自在呈现。
在修改后的存在量词引进规矩（ +或EU）中，式（5）的第二个表述和式（7）的第二个表述能够看成是在包含式的后件引进存在量词的景象，式（6）和式（8）的表述能够看成是在包含式的前件引进存在量词 的景象。这些表述具有内容与方式的一致性，便于学生了解和回忆，能够根据不同景象挑选运用。
那么，存在量词消去规矩应具有怎样的方式呢？咱们可如下表述存在量词消去规矩（ -、EI或ES）：
其间，c是个别常元符号。运用该规矩前二个表述的条件要求是：常元c是满意公式 xA（x）的个别。
在修改后的存在量词消去规矩（ -、EI或ES）中，当常元c是满意公式 xA（x）的个别时，式（9）中第一个表述建立的根据是公式 xA（x）→A（c）为永真式，因而有
xA（x） A（c）;第二个表述建立的根据是假言三段论规矩：
（B→ xA（x））∧（ xA（x）→A（c）） B→A（c）。第三个表述建立的根据是假言三段论规矩：
（A（c）→ xA（x））∧（ xA（x）→B） A（c）→B 。
与对修改后的存在量词引进规矩（ +或EU）方式的观点相似，在修改后的存在量词消去规矩（ -、EI或ES）中，第二个表述能够看成是在包含式的后件消去存在量词 的景象，第三个表述能够看成是在包含式的前件消去存在量词 的景象，这样更便于学生了解和回忆。修改后的存在量词消去规矩（ -、EI或ES）也是对文献[4]中对应规矩的进一步扩大。
综上所述，在一阶谓词逻辑推理中，咱们应确保规矩的内容与方式的一致性，使学生正确了解和承受相应的推理规矩，合理结构推理进程，然后有利于培育学生的核算思想才能以及进步学生的推理才能。
参考文献：
[1]Kenneth H.Rosen. Discrete mathematics and its
applications（7th Ed.）[M].McGraw-Hill（Asia）
Education Press，2012：xvi.
[2]Jeannette M.Wing. Computational thinking[J].
Communications of the ACM，2006，49（3）：33-35.
[3]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学（第二版）[M].北京：
高等教育出版社，2015：60，81.
[4]左孝凌，李为鑑，刘永才.离散数学[M].上海：上海科学
技能文献出版社，1982：76.
