谭友军
摘 要：本文介绍了在数学专业线性代数教育中遵从的“问题（Problem）-直觉（Intuition）-证明（Proof）-使用（Applications）”（PIPA）进程。这种PIPA进程有助于学生了解概念，培育笼统思维才干和数学证明才干，为后继课程的学习打下坚实的根底。
关键词：线性代数；教育；PIPA
一、导言
线性代数是数学专业本科一年级主干课程之一，是后继专业课程的根底。线性代数笼统程度高，理论体系杂乱，一直是公认的教育难度较大的课程[1]。关于一般数学专业一年级新生来说，因为没有满足的物理、几许和其他使用学科方面的布景，并且缺少数学证明（mathematical proving）方面的经历，所以他们要了解线性代数中的根本概念和许多处理问题的办法是很有难度的。一般教科书中的“界说—引理—证明—定理—证明—推论”（DLPTPC）方式关于大多数学生来说是糟糕的领会[2]。因而，关于线性代数的教育研讨一直是很活泼的[3-7]。
近年来，咱们在数学专业线性代数教育中进行了一些探求，在进行根本概念和根本理论教育时首要遵从“问题（Problem）—直觉（Intuition）—证明（Proof）—使用（Applications）”（PIPA） 的进程。咱们知道，线性代数首要概念来自于剖析、几许、物理、代数以及一些使用学科中的详细问题。所以，咱们坚持在介绍新的概念之前力求把相关问题、布景解说清楚，使学生了解代数笼统进程的必要性。咱们一般在提出详细问题之后，鼓舞学生先对相应的问题依据直觉自己答复，这类似于Mazur的polling办法[1]。學生直觉是否正确并不是重要的，可是将有助于学生积极参与教育进程，并逐步知道到常识堆集对处理问题的重要性。线性代数是一门证明课程 （proving course）[2]，咱们在介绍了关于某个问题或概念的定论后，首要着重数学证明的必要性，然后再着重证明进程中所用的办法。根本概念和定论的使用可所以恰当的例题和习题，也可所以对定理的弥补评论。上述PIPA进程适用于线性代数的大多数根本概念和根本理论教育，有助于学生了解笼统概念的来龙去脉，进步处理问题的才干。别的，一次PIPA进程的完毕，往往会在“使用”阶段发生新的“问题”，然后又是一次新的PIPA进程的开端。
二、PIPA进程
1.问题
线性代数根本概念来历于一些较为详细的问题，从详细问题着手无疑会协助学生了解笼统概念，并发生研讨笼统概念的爱好。一起，线性代数的首要概念之间有很强的内在联系，以至于能够从线性代数的恣意根本概念开端教育。
为了引进笼统概念，咱们在介绍详细问题时充沛使用学生现已把握的概念，挑选学生相对说来简略了解的问题。例如，为了引进矩阵的秩，咱们提出的问题是怎么求一个向量组的秩；为了引进向量组的秩，咱们提出的问题是怎么判别一个向量组的线性相关性；为了引进向量组的线性相关和线性无关，咱们提出的问题是怎么描写零向量由已知向量组线性表出的办法；为了引进线性表出的概念，咱们提出的问题是怎么用向量的言语来描绘线性方程组解的存在性；为了引进恣意数域上的向量，咱们提出的问题是怎么解说Gauss消元法得到的关于线性方程组的定论（咱们着重，因为在运用Gauss消元法时所采纳的进程没有唯一性，所以学生需求了解这种表面上看起来的非唯一性是否是实质的）。这样一来，学生能够澄清这些笼统概念的来历，然后深入了解引进这些概念的必要性。咱们以为，假如没有引进相对来说较为详细的问题，而是像教科书上那样直接写出比方线性无关之类的界说，那么大多数学生了解起来是很有难度的。即便在写出界说之后再举出若干比方，也未必能取得很好的效果，因为学生很或许一开端就对直接给出的概念发生抵触情绪。
与其他一些专业课程不同的是，线性代数的某些笼统概念来自于学生实际上还没有学过的课程。这是在挑选问题时咱们遇到困难的首要原因。例如，虽然学生在中学阶段对二元或三元方程组有所了解，可是，因为缺少比方运筹学、数理统计等方面的常识，大多数学生不行思议未知数和方程个数许多的线性方程组的存在性，然后难以了解教科书上直接给出的、由含n个未知数的m个线性方程组成的线性方程组。因为学生还没有了解更为笼统的向量空间的概念，单纯用解析几许引进线性方程组的做法是不行取的（此刻，学生对空间解析几许也了解得不多）。又比方，像数域这样十分根本的概念，因为学生缺少数论、代数几许方面的常识，他们难以了解引进数域的必要性。
关于上述困难，一方面咱们恰当介绍一些后继课程的根本研讨内容（如数理统计中的最小二乘法），协助学生了解杂乱线性方程组的存在性和重要性；另一方面，经过全面了解学生在数学剖析、解析几许等课程中的学习进展来提取一些详细问题。比方咱们在解说二次型理论时，因为事前了解到学生在数学剖析中现已学过多元函数的极值，咱们使用多元函数极值点的判别问题引进正定、负定的概念，使学生了解研讨正（负）定的实对称矩阵是有意义的。
2.直觉
咱们在教育中提出详细问题后，鼓舞学生依据自己的直觉直接给出对问题的观点，然后激起学生积极参与进一步评论的爱好，为笼统概念的引进或根本定论的导出做衬托。
为了到达鼓舞的意图，咱们需求对某些问题作恰当的简化，乃至只需求学生对一些特别景象凭直觉给出答复。例如，在提出怎么判别恣意数域上的两个方阵是否类似这样的大问题后，咱们提出的特别景象下的问题是：怎么判别一个方阵与单位阵类似？有的学生能很快依据类似的界说给出正确的答复。接下来，咱们把单位阵换成数量阵、对角阵、三角阵，学生依据自己的直觉给出答复后，逐步自主地知道到这种用类似的界说判别是否类似的办法不是优的、一般的算法，然后为进一步评论打下了根底。
学生对问题的直觉即便是不正确的，也会对他们把握根本概念和根本定论有所协助。例如，在问到是否存在只要两个解的线性方程组时，许多学生依据直觉答复存在。然后，咱们引导学生再次回忆Gauss消元法，让学生自己批改答复，并得到完好的正确定论。
3.证明
数学证明是数学开展的推动力之一。与其他专业的线性代数教育不同的是，数学专业线性代数教育的首要功能之一是培育学生的数学证明知道和才干。大多数数学专业一年级学生缺少对数学证明的必要性的满足知道，如许多学生简略混杂详细算法与证明的差异，然后难以了解比方唯一性的定论的证明。别的，数学证明自身也会协助学生了解笼统概念和一些根本定论。例如在可逆矩阵界说中，说A可逆是指存在矩阵B使得AB=BA=E为单位阵。可是，咱们又有如下的定论：方阵A可逆当且仅当存在方阵B使得AB=E或BA=E。许多学生感到困惑的是：依据这个定论，为什么不直接把界说中的“且”改成“或”呢？假如学生了解了可逆矩阵的唯一性的证明，那么这种困惑就会得到处理。再比方，像方阵的乘积的行列式等于行列式的乘积这样深入的定理（关于学生来说，矩阵乘积的界说与方阵的行列式的界说相差得太远了），假如对这个定理的证明进程没有充沛的知道，那也将是难以了解的。
在提出问题并且让学生自己依据直觉得出一些答复后，咱们一般经过一起演算导出正确的定论，或许直接以出题、定理的方式写出正确的定论。由直接演算得到定论的进程就是证明。并且，线性代数中更多的根本定论的证明需求概念化而不是详细核算。所以，咱们在教育中特别注重对那些概念化的证明的解说。首要，咱们协助学生进一步了解那些定理或出题中触及的概念。其次，咱们着重所触及的证明办法。例如，咱们要求学生总结：哪些定理的证明运用了第二归纳法、数域的扩大（如实数域上不行约多项式的分类、实对称矩阵的特征值问题、λ-矩阵的使用）等技巧。最终，咱们一般会和学生评论定理或出题能够在什么程度上进行推行。
因为有些证明的技巧性太强，或许触及的概念太多，有关定理或出题的证明的解说简略使学生感到泄气。在这种情况下，咱们一般先和学生评论出证明的首要进程，然后把细节留给学生考虑，必要时再一起弥补完好，这样就有或许增强学生的自傲。
4.使用
有关线性代数根本概念和根本定论的使用首要是经过例题和习题来完成的。例题和习题的意图在于协助学生自我承认在多大程度上处理了开端提出的问题（有些问题需求在后继课程中才干进一步评论），以及对经典办法（比方Gauss消元法、Schmidt正交化办法、第二归纳法等）的把握程度。咱们注重习题课的教育，尽量做到让学生都有时机和教师沟通自己的领会。
作为例题和习题教育的弥补，咱们也鼓舞学生从事一些大型的、需求协作的探求活动。例如，咱们鼓舞学生对某些算法（如曲折除法、Gauss消元法、求矩阵的逆等）进行核算机编程。虽然线性代数中呈现的绝大多数算法现已有现成的package可用，可是学生自己的作业是有意义的。学生经过编程了解了困难地点，然后有或许激起他们的研讨爱好。
在教育实践中，咱们一般会在使用阶段提出还没有评论过的问题，然后开端下一轮PIPA进程。
三、教育事例：矩阵的类似
按传统教育办法，咱们导出了矩阵类似的界说：矩阵的类似来自于有限维线性空间上线性改换在不同基下的矩阵之间的联系。在此根底上，关于矩阵类似的教育内容首要会集在可对角化、特征值、特征向量、特征子空间、特征多项式、不变子空间、与准对角阵类似、与三角阵类似、λ-矩阵理论、有理标准型与Jordan标准型等方面。咱们不像教科书上那样直接给出特征值、特征向量、不变子空间的界说，而是在评论可对角化、准对角化问题的进程中自然地引进。以下是咱们接连进行的几个PIPA进程，其间的矩阵指的是数域F上的方阵。
P： 一般情况下，怎么核算线性改换的核与像？
I： 在学生答复的根底上，诱导学生知道到线性改换在基下的矩阵的重要性。
P： 使用类似的概念，经过直接演算证明線性改换的核与像不依赖于基的选取，让学生了解该结果与直觉的一致性。
A： 举例阐明基的选取影响核算量，然后提出下面的问题：
P： 怎么选取有限维线性空间的基，使得某个线性改换在这个基下具有方式上较为简略的矩阵，比方说对角阵或上三角阵？
I： 在学生答复的根底上，引导学生知道到评论矩阵的类似问题的重要性。
P： 证明一些关于矩阵类似的必要条件的定论。
A： 给出一些矩阵不类似的比方。使用矩阵的列向量方式导出矩阵可对角化的必要条件，并特别着重上述问题没有得到完好答复。所以提出以下的问题：
P： 上面得到的可对角化的必要条件是否也是充沛的？
I： 在学生答复的根底上，引导学生再次查看原先的关于必要条件的核算，并留意可逆矩阵的列向量组线性无关。
P： 提出特征值、特征向量、特征子空间的概念，给出矩阵可对角化的、用特征向量来描绘的充要条件，并完善上述证明进程。
A： 给出核算可对角化矩阵的多项式比方。导出线性改换的特征值、特征向量、特征子空间的界说，阐明怎么使用矩阵来核算线性改换的特征值、特征向量和特征子空间。所以提出以下的问题：
P： 关于给定数域F上的一个矩阵，怎么求它的特征值、特征向量和特征子空间？
I： 在学生答复的根底上，引导学生知道到齐次线性方程组的效果。
P： 给出特征多项式的概念，并证明特征多项式的根本性质。
A： 给出核算方面的比方，解说可对角化景象下过渡矩阵的结构。让学生了解矩阵在数域F上或许没有特征值，然后在F上更不行能对角化。给出F上的矩阵的特征值全在F中，但在F上依然不行对角化的比方。所以提出以下的问题：
P： 给定数域F上的一个矩阵，怎么判别它是否类似于一个准对角阵？
I： 在学生答复的根底上，引导学生知道到分块矩阵的重要性。
P： 给出矩阵和线性改换的不变子空间的概念，指出特征子空间是特别的不变子空间。使用列向量和分块矩阵导出矩阵类似于准对角阵的一个用不变子空间来描绘的充要条件。
A： 举出不是特征子空间的不变子空间的比方（循环子空间），举出使用多项式来结构不变子空间的比方，举出不能类似于准对角阵的比方。所以提出以下的问题：
P： 给定数域F上的一个矩阵，怎么判别它是否类似于一个上三角阵？然后进入下一个PIPA进程。
依照这样的教育进程，最终进行到对恣意两个矩阵的类似问题的评论，并使用λ-矩阵理论得到类似的充要条件，然后得到有理标准型和Jordan标准型的相关定论。这样的教育进程表现了从特别到一般的笼统思维进程，能够协助学生在把握一般理论的一起，对详细使用问题也能到达娴熟的程度。
参考文献：
[1] J. M. Day， D. Kalman. Teaching Linear Algebra： What are the Questions？[EB/OL].Available at： http：//www1.american.edu/ academic.depts/cas/mathstat/People/kalman/pdffiles/questions.pdf.
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[5] J.M. Day， D. Kalman. Teaching Linear Algebra： Issues and Resources[J]. THE COLLEGE MATHEMATICS JOURNAL， 2001，32（3）： 162-168.
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